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Quadratische Funktionen aufstellen: 3 wichtige Schritte

Quadratische Funktionen aufstellen

Eine Quadratische Funktion aufstellen ist nicht so schwer, wie du jetzt vielleicht glaubst. Um Quadratische Funktionen aufzustellen, brauchst du immer drei Informationen. Immer! Diese findest du in der Aufgabenstellung. Mal sind sie offensichtlich, mal eher versteckt. Die erste Aufgabe für dich ist jetzt also, diese drei Informationen zu finden.
Punkte sind immer leicht als Information zu entdecken. Ein bisschen trickreicher ist es, wenn der Scheitelpunkt gegeben ist. In diesem stecken nämlich schon zwei der drei gesuchten Informationen. Der Punkt selbst und die Information, dass es der Scheitel ist.

Aber was, wenn du jetzt immer noch nicht alle drei Informationen gefunden hast?

Dann musst du suchen. Suche nach Schlüsselworten, die dir noch zusätzlich etwas über die Funktion verraten. Handelt es sich bei der Funktion zum Beispiel um eine Normalparabel? Oder ist die Funktion vielleicht achsensymmetrisch? Oft ist auch der Schnittpunkt mit der Y-Achse zusätzlich gegeben. Auch diese Information ist hilfreich für dich.

Aber all die Informationen helfen dir nichts, wenn du nicht weißt, wie du sie benutzen sollst. Du suchst eine Quadratische Funktion. Also eine Parabel. Aber wie sieht eine Parabel aus?

Beispiele für eine Parabel sind:

f(x)=2x²+5x-4 (a=2 b=5 c=-4)

f(x)=x²-4x+7 (a=1 b=-4 c=7)

f(x)=3x²-9x-4 (a=3 b=-9 c=-4)

f(x)=-x²+2x-3 (a=-1 b=2 c=-3)

f(x)=x²+2 (a=-1 b=0 c=2)

Du siehst allen Parabeln ist gemeinsam, dass sie aus drei Summanden bestehen. Einen mit x², einen mit x und einen ohne x. Der Unterschied ist nur, wie oft die einzelnen Summanden vorkommen. Dabei nennen wir die Zahl, die vor dem x² steht a, die vor dem x steht b und die Zahl ohne x nennen wir c. Die Werte für „a“, „b“ und „c“ zu finden ist oft wichtig, zum Beispiel um die Nullstellen mit der Mitternachtsformel zu finden. Ausführliche Erklärvideos und interaktive Schulaufgaben zur Mitternachtsformel findest du auf der Seite LEARNZEPT.de.

Was machst du jetzt aber, wenn du nur weißt, dass die Funktion eine Parabel ist, nicht aber wie genau ihr Funktionsterm lautet? Ob es also 2x²+4x-2 ist oder doch 3x²-6x+2? Du siehst wir müssen „a“, „b“ und „c“ irgendwie berechnen.

Schreib dir als erstes die Funktion allgemein hin:

y=ax²+bx+c

Diese benutzt du, indem du zum Beispiel die x- und y-Koordinaten deiner Punkte für x und y einsetzt.

Hast du zum Beispiel den Punkt A(5|7) gegeben, weißt du, dass du für x „5“ und für y „7“ einsetzen musst. Aus deiner Funktion wird dann: 7=a*25+b*5+c. Eine Gleichung mit drei Unbekannten, a, b und c.

Drei Unbekannte bedeutet, du brauchst auch drei Gleichungen, um das Gleichungssystem lösen zu können. Wenn du drei Punkte gegeben hast, musst du alle Punkte wie oben einsetzen und erhältst ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichungen.

Das ist aufwändig und wir versuchen es daher möglichst zu vermeiden.

Darum ist es wichtig, Punkte erst als letztes einzusetzen. Vorher versuchen wir alle anderen Informationen zu benutzen.

Eine Normalparabel verrät dir, dass „a“ – also die Zahl vor dem x² – eins sein muss (also a=1). Jetzt hat dein Gleichungssystem schon mal nur noch zwei Variablen.

Die Achsensymmetrie verrät dir, das „b“ null sein muss (also b=0).

Und der Schnittpunkt mit der y-Achse sagt dir, welchen Wert „c“ haben muss.

Jede dieser Informationen macht unser Gleichungssystem also leichter. Daher freu dich, wenn ein solches Schlüsselwort in deiner Aufgabe vorkommt! Ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten ist viel leichter zu lösen als eins mit drei Unbekannten.

Du siehst, wir versuchen, wenn es geht, das Lösen eines komplizierten Gleichungssystems zu vermeiden.

 

Zum Scheitelpunkt:

Wenn der Scheitel gegeben ist, benutzen wir die Scheitelpunktform.

Zur Erinnerung: Scheitelpunktform: y=a(x-xs)²+ys.

In diese musst du nur für „xs“ die x-Koordinate des Scheitelpunktes und für „ys“ die y-Koordinate deines Scheitelpunktes einsetzen. Wenn z.B. der Scheitel S(3|6) gegeben ist, schreibst du für „xs“ 3 und für „ys“ 6. Deine Scheitelpunktform sieht dann so aus: y=a(x-3)²+6

Jetzt stört nur noch das „a“.

Mit einem weiteren Punkt kannst du „a“ dann ganz leicht ausrechnen, indem du den Punkt in die eben berechnete Gleichung einsetzt.

Hast du zum Beispiel als weiteren Punkt A(-19|5) gegeben, setzt du für x „-2“ ein und für y „5“. So erhältst du: -19=a(-2-3)²+6

Du siehst, die Scheitelpunktsform enthält nur noch a und du kannst leicht nach a auflösen:

-19=a*25+6 |-6

-25=25a |:25

a=-1

Du bekommst dann die Funktionsgleichung y=-(x-3)²+6 oder vereinfacht y=-x²+6x-3

 

Zu den Nullstellen:

Nullstellen kannst du wie jeden anderen Punkt auch behandeln. Hier ist y halt Null.

 

Quadratische Funktionen aufstellen: Erklärvideo

In diesem Video wird dir ausführlich erklärt wie du Quadratische Funktionen aufstellen kannst.
 
 

 
 

Quadratische Funktionen aufstellen: Was muss ich dafür können und wissen?

Beispiele:

  • Die Normalparabel f geht durch die Punkte A(2|5) und B(5|8).

Bestimme die Funktion f:

Lösung:

Wir unterstreichen uns die drei Informationen:

  • „Eine Normalparabel geht durch die Punkte A(2|5) und B(5|8).“

Das Wort „Normalparabel“ verrät dir a=1. Zusammen mit der Normalform erhältst du y=x²+bx+c

Hier setzt du die beiden Punkte ein, den y-Wert für y und den x-Wert für x und erhältst zwei Gleichungen (mit zwei Unbekannten).

I 5=2²+b*2+c

II 8=5²+b*5+c

 

Ia 5=4+2b+c

IIa 8=25+5b+c |Ila-Ia

In beiden Zeilen kommt genau ein c vor. Es empfiehlt sich daher, das Additionsverfahren zu verwenden.

IIb 3=21+3b |-21

Und schon haben wir eine Gleichung, in der nur noch b vorkommt. Diese müssen wir nur noch nach b auflösen:

IIc -18=3b |:3

IId -6=b | in Ia

Wir wissen jetzt, dass b=-6 ist. Das setzen wir in eine möglichst einfache Gleichung vom Anfang ein:

IIe 5=4-12+c |+8

Ilf 13=c

Und erhalten c. Da wir jetzt a, b und c kennen können wir unsere Funktion angeben:

f(x)=x²-6x+13

 

  • Die Funktion f schneidet die Y-Achse im Punkt P(0|3) und ist an der Y-Achse gespiegelt. Des weiteren ist bekannt, dass f durch den Punkt Q(2|-5) geht.

Bestimme die Funktion f:

Lösung:

Wir unterstreichen uns die drei Informationen:

  • „Die Funktion f schneidet die Y-Achse im Punkt P(0|3) und ist an der Y-Achse gespiegelt. Des Weiteren ist bekannt, dass f durch den Punkt Q(2|-5) geht.“
  • „schneidet die Y-Achse im Punkt P(0|3)“ heißt c=3.
  • „ ist an der Y-Achse gespiegelt“ heißt Achsensymmetrie. Damit ist b=0.

Jetzt stellst du die Normalform auf: y=ax²+3

Um a zu bestimmen, nutzen wir jetzt den Punkt Q.

-5=a*2²+3 |-3

-8=a*4 |:4

-2=a

Jetzt sind dir a, b und c bekannt. Und die Funktion lautet:

f(x)=-2x²+3

 

  • Die Funktion f hat ihren Scheitel bei S(5|-3) und ist um den Faktor 4 gestreckt.

Bestimme die Funktion f:

Lösung:

Wir unterstreichen uns die drei Informationen:

  • „Die Funktion f hat ihren Scheitel bei S(5|-3) und ist um den Faktor 4 gestreckt.“
  • „Faktor 4“: heißt a=4.
  • „Scheitel bei S(5|-3)“: Wir nehmen am besten die Scheitelpunktsform.

f(x)=4(x-d)+e

f(x)=4(x-5)-3

 

Quadratische Funktionen aufstellen: Die häufigsten Fehlerquellen

  • Du musst die x und y Koordinaten deiner Punkte für x und y einsetzen und nicht für a, b oder c.

Mein Tipp: Schreibe dir die Normalform y=ax²+bx+c ab und ersetze dann y durch deine y Koordinate und x durch die x Koordinate

  • Lies dir die Aufgabenstellung genau durch. Das ist zwar immer ein guter Tipp, aber hier ein ganz besonders guter. Denn die meisten Schüler suchen nur nach Zahlen. Aber das auch in den Worten „Normalform“, „achsensymmetrisch“ oder „gespiegelt“ Informationen stecken, wird oft übersehen.

Mein Tipp: Suche so lange nach Informationen, bis du drei gefunden hast.

  • Ein Scheitelpunkt wird oft nur wie ein Punkt behandelt. Vergiss nicht, dass du durch den Scheitelpunkt noch eine weitere Information bekommen hast.

Mein Tipp: Ist ein Scheitelpunkt gegeben benutze die Scheitelpunktform. Informationen und Übungsmaterial zur Scheitelpunktsform findest du auf der Seite LEARNZEPT.de.

  • Viele Schüler sehen als erstes die gegebenen Punkte und versuchen die Aufgabe damit zu lösen. Gibt es aber noch eine weitere Information ist das unnötig kompliziert.

Mein Tipp: Mach dir das Leben leicht und fang mit den anderen Informationen an. Setze zum Beispiel die Parameter, die du kennst, ein. Dadurch wird die Rechnung dann einfacher. Erst dann nutze die Punkte und setzte sie ein.

 

Quadratische Funktionen aufstellen: Drei Tipps zusammengefasst

  1. Zum Aufstellen von quadratischen Funktionen brauchst du drei Informationen.
  2. Zwei sind häufig durch Punkte gegeben, die Dritte „versteckt“ sich in der Textaufgabe.
  3. Trage die Informationen zusammen und löse dann ggf. das entstandene Gleichungssystem. Wie du Gleichungssysteme unkompliziert lösen kannst findest du anhand von Erklärvideos auf der Selte LEARNZEPT.de.

 

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