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Unabhängigkeit von Ereignissen

Unabhängigkeit von Ereignissen

Die Unabhängigkeit von Ereignissen ist eine tolle Sache. Denn sind zwei Ereignisse unabhängig, kannst du sehr einfach mit ihnen bzw. ihren Wahrscheinlichkeiten rechnen. Auch deine Baumdiagramme vereinfachen sich dann. Daher ist es wichtig zu wissen, ob eine Unabhängigkeit von Ereignissen vorliegt.
Dafür müssen wir verstehen, was die Unabhängigkeit von Ereignissen eigentlich bedeutet. Zwei Ereignisse sind dann unabhängig, wenn das Auftreten des einen Ereignisses keinen Einfluss hat auf die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses. Oft kannst du dir logisch überlegen, dass zwei Ereignisse nichts miteinander zu tun haben. Wenn du zum Beispiel zweimal würfelst, hat das Ergebnis des ersten Wurfs keinen Einfluss auf das Ergebnis des zweiten Wurfs. Wenn du aber als Vorspeise einen Salat bestellst, kann das einen Einfluss auf die Wahl deines Hauptgerichts haben, da es eventuell zeigt, dass du dich gesund ernährst und es daher unwahrscheinlicher ist, dass du ein Schnitzel mit Pommes bestellst.

Aber wie findest du heraus, ob eine Unabhängigkeit von Ereignissen vorliegt?

Dafür gibt es natürlich eine einfache Formel:

Eine Unabhängigkeit von Ereignissen liegt genau dann vor, wenn gilt:

P(A n B)=P(A)*P(B)

Wenn du also die Wahrscheinlichkeit von A, die von B und die Wahrscheinlichkeit des Schnitts kennst, kannst du einfach nachrechnen, ob eine Unabhängigkeit von Ereignissen vorliegt.

 

Unabhängigkeit von Ereignissen: Grundwissen! Was wird verlangt?

Wenn du wissen willst, ob A und B unabhängig voneinander sind, musst du zuerst die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) und P(A n B) berechnen und die entsprechenden Werte in die Formel einzusetzen. Dafür empfiehlt es sich oft, ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel anzulegen.

Beispiel:

Zeige, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind. Du weißt:

P(A)=0,8   P(B)=0,75   P(A n B)=0,15

Lösung:

Hier ist eine Vierfeldertafel sinnvoll.

  P(A) P(A)  
P(B) 0,2 0,05 0,25
P(B) 0,6 0,15 0,75
  0,8 0,2 1

 

Aus der Vierfeldertafel lesen wir ab:

P(A)=0,8   P(B)=0,25   P(A n B)=0,2

Die Werte setzen wir in die Formel P(A n B) = P(A)*P(B) ein und erhalten: 0,2=0,8*0,25

Da die Gleichung stimmt, sind die Ereignisse A und B unabhängig.

Wie du siehst ist es nicht mehr schwer, die Unabhängigkeit von Ereignissen festzustellen, wenn du die richtigen Werte erst mal ausgerechnet und richtig abgelesen hast. Wie du aber die benötigten Werte berechnest, ist dir überlassen. Häufig ist eine Vierfeldertafel sinnvoll, oft geht es auch mit einem Baumdiagramm.

Was muss ich aber machen, wenn ich die Abhängigkeit von A und B zeigen soll?

Das geht im Prinzip ganz genauso. Die Abhängigkeit erkennst du dann daran, dass die obige Gleichung am Ende eben nicht stimmen wird. Dann steht da vielleicht 0,3=0,8*0,35. Und das ist natürlich falsch. Also keine Angst. Wenn die Gleichung am Ende nicht stimmt, hast du dich nicht zwangsläufig verrechnet. Es kann auch einfach sein, dass die Ereignisse nicht unabhängig, sondern abhängig sind.

Unabhängigkeit von Ereignissen: Auflistung der wichtigsten Fehlerquellen

  • Der häufigste Fehler ist, dass man die falschen Zahlen in die Formel einsetzt. Achte darauf, dass du tatsächlich die richtigen Werte benutzt. Nicht immer sind die drei gegebenen Werte auch die Werte, die du benutzen musst. Häufig musst du die Werte erst noch ausrechnen, zum Beispiel mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel.
    Vierfeldertafeln und Baumdiagramme sind in der Statistik beliebte Mittel zur Veranschaulichung von zusammengesetzten Zufallsexperimenten. Ausführliche Erklärvideos und Übungsaufgaben bietet dir die Seite LEARNZEPT.de.
  • Ein häufiger Fehler ist auch, dass wir einfach annehmen, dass eine Unabhängigkeit von Ereignissen vorliegt, ohne dies zu überprüfen. Wenn also in der Aufgabenstellung nicht explizit steht, dass eine Unabhängigkeit von Ereignissen vorliegt, musst du diese normalerweise erst durch eine Rechnung begründen.
  • Häufig haben zwei Ereignisse nichts miteinander zu tun, sind aber beide von einem dritten Ereignis abhängig.

Hierfür gibt es ein sehr schönes Beispiel:

Im Frühling werden überdurchschnittlich viele Kinder geboren. Im Frühling gibt es besonders viele Störche. Es existiert also eine stochastische Abhängigkeit der beiden Ereignisse, auch wenn sie offensichtlich nichts miteinander zu tun haben. Sie sind beide von dem Ereignis „Frühling“ abhängig. Das Fehlen der Unabhängigkeit von Ereignissen sollte man also nicht mit einem kausalen Zusammenhang verwechseln.

Wenn du also Zahlen hast, mit denen du rechnerisch zeigen kannst, dass eine Unabhängigkeit von Ereignissen vorliegt, musst du trotz aller Logik rechnen.

 

Unabhängigkeit von Ereignissen: 3 zusammenfassende Tipps

  1. Was bedeutet es, wenn zwei Ereignisse unabhängig sind?

Antwort: Das Auftreten des einen Ereignisses darf eben keinen Einfluss auf das Auftreten des zweiten Ereignisses haben.

  1. Natürlich lohnt es sich für dich, die Formel zu kennen und zu wissen, wie du sie anwendest:

    P(A n B) = P(A)*P(B)

  2. Du solltest außerdem wissen, dass es Formeln gibt, die die Unabhängigkeit von Ereignissen voraussetzten.

 

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