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Ungleichungen lösen: 3 Wege zum Ungleichungen Lösen

Ungleichungen lösen

Eines mal vorneweg: Ungleichungen lösen ist nicht einfacher oder komplizierter als das Lösen von Gleichungen. Ich kann dich dahingehend schon einmal beruhigen. Die Arbeitsschritte sind im Großen und Ganzen dieselben.

Was ist erstmal eine Ungleichung? Eine Ungleichung sieht fast genauso aus wie eine Gleichung mit einem Unterschied. Das Ist-Gleich-Zeichen wird ersetzt durch ein Ungleichheitszeichen. Dieses ist ein kleines Dreieck, dessen Spitze entweder nach links oder nach rechts zeigt. Du siehst dies an den folgenden Beispielen:

Gleichung:     2x = 3 – x

Ungleichung:     2x < 3 – x

Das Ziel ist in beiden Fällen das Gleiche. Ungleichungen Lösen heißt genauso wie Gleichungen lösen, dass du nach x auflösen willst. Dazu wendest du beim Ungleichungen Lösen die gleichen Schritte an wie bei Gleichungen. Auch das Ergebnis sieht gleich aus. Der Unterschied ist wieder nur das Ungleichheitszeichen:

Gleichung: x = 1

Ungleichung: x < 1

Ich möchte dir damit begreiflich machen, dass du beim Ungleichungen Lösen nicht viel anders machen musst, als bei Gleichungen. Sieh dir erstmal das folgende Video an. Wenn du dann noch Schwierigkeiten mit dem Thema Ungleichungen lösen hast, dann erkläre ich dir noch genauer, worauf du beim Ungleichungen Lösen aufpassen musst und wo die wichtigsten Fehlerquellen in Klassenarbeiten versteckt sind.

Ungleichungen lösen: Erklärvideo

In diesem Video erhältst du ausführliche Erklärungen zum Thema Ungleichungen lösen.

Ungleichungen lösen: Welche Werkzeuge brauche ich?

Halten wir noch einmal fest, dass Ungleichungen sehr ähnlich sind wie Gleichungen. Wie du richtig Gleichungen löst, kannst du auf der Seite LEARNZEPT.de anhand von ausführlichen Lehrvideos wiederholen und vertiefen und durch echte interaktiv aufbereitete Klassenarbeiten üben.

Der entscheidende Unterschied zwischen Gleichungen und Ungleichungen betrifft das Ungleichheitszeichen. Du erhältst beim Ungleichungen Lösen keinen einzelnen Wert als Lösung sondern eine Menge an Zahlen, die die Bedingungen (> „größer als“ / < „kleiner als“) der Lösung erfüllen.

Du musst deswegen als Lösung einer Ungleichung eine sogenannte Lösungsmenge angeben. Sehen wir uns ein Beispiel einer Lösung einer Ungleichung an:

x > 2

Die Lösung für x lautet also „alle Werte, die größer als 2 sind“. Die Lösungsmenge beim Ungleichungen Lösen kannst du auf zwei Arten hinschreiben:

  1. Mengenschreibweise: IL = {x I x > 2}
  2. Intervallschreibweise: IL = ] 2 ; ∞ [

Eine entscheidende Rechenregel beim Ungleichungen Lösen, die beim Lösen von Gleichungen nicht notwendig ist, musst du dir dringend einprägen. Wenn du eine Ungleichung durch eine negative Zahl teilst oder mit einer negativen Zahl mal nimmst, dann dreht sich im gleichen Schritt das Ungleichheitszeichen um. Dazu ein Beispiel gefällig?

5x > 10 I : 5 (teilen durch eine positive Zahl!)     x > 2 (Vorzeichen bleibt gleich!)

-5x > -10 I : -5 (teilen durch eine negative Zahl!)     x < 2 (Vorzeichen dreht sich um!)

Das Problem mit den Vorzeichen und dem Umdrehen des Vorzeichens, wenn du mit einer negativen Zahl malnimmst, kennst du in einfacheren Gleichungen auch vom Klammern auflösen. Genaueres hierzu findest du auf der Seite LEARNZEPT.de.

Diesen Wechsel des Ungleichheitszeichens nennt man Inversion. Sieht kompliziert aus, ist aber nicht weiter tragisch, da du das Vorzeichen beim Ungleichungen lösen nur dann umdrehen musst, wenn du mit einer negativen Zahl malnimmst oder durch eine negative Zahl teilst.

Im Folgenden werde ich dich auf die häufigsten Fehler hinweisen, die Schüler meiner Erfahrung nach beim Ungleichungen Lösen machen und dir Tipps an die Hand geben, wie du diese Fehler am besten vermeiden kannst.

 

Ungleichungen lösen: Die Fehler stecken im Detail!

  1. Inversion nicht beachtet

Schüler vergessen beim Ungleichungen Lösen leider oft, dass sich das Ungleichheitszeichen ändert, wenn man durch negative Zahlen teilt oder mit ihnen malnimmt.

Mein Tipp: Einfach immer daran denken, dass negative Zahlen beim Ungleichungen Lösen böse sind und dann genau hinschauen, ob du beim Malnehmen und Teilen mit negativen Zahlen die Inversion beachtet hast!

  1. Alles richtig gerechnet, aber die Lösungsmenge falsch hingeschrieben

Ich habe mich bei der Korrektur von Klassenarbeiten zum Thema Ungleichungen lösen schon oft darüber gewundert, wie unnötig Schüler Punkte herschenken, weil sie die Lösungsmenge nicht richtig hingeschrieben haben. Die Aufgabe ist vollständig richtig gerechnet und das Ergebnis ist auch korrekt, wie im Beispiel: x > 2

Falsche Schreibweise:    IL = x > 2

Richtige Schreibweise:     IL = {x I x > 2}     oder:   IL = ] 2 ; ∞ [

 

Mein Tipp: Beim Hinschreiben der Lösungsmenge sich für eine der beiden Schreibweisen (Mengenschreibweise oder Intervallschreibweise) entscheiden und diese dann auch zuverlässig verwenden. Genaueres zu den verschiedenen Mengenschreibweisen findest du auf der Seite LEARNZEPT.de.

  1. Unterschied zwischen < und ≤ sowie > und ≥

Ein weiterer Fehler beim Ungleichungen Lösen, der Schülern oft passiert ist, dass sie beim Hinschreiben der Lösungsmenge nicht darauf achten, ob das Ungleichheitszeichen einen Strich darunter hat. Dies bedeutet, dass die Grenze in der Lösungsmenge eingeschlossen werden muss, da der Wert nicht nur größer oder kleiner sein darf sondern auch gleich sein kann.

Mein Tipp: Diesen Flüchtigkeitsfehler kannst du am einfachsten vermeiden, wenn du deinen Lösungsweg nach dem Lösen der Ungleichung und vor dem Hinschreiben der Lösungsmenge noch einmal genau überprüfst.

  1. Grundmenge nicht beachtet

Der letzte Fehler, auf den ich dich beim Ungleichungen Lösen hinweisen möchte ist, dass Schüler oft vergessen, dass die gegebene Grundmenge bei der Aufgabe die Lösungsmenge einschränken kann. Wenn du zum Beispiel Grundmengen wie „Natürliche Zahlen“ oder „Ganze Zahlen“ angegeben hast, darfst du Kommazahlen oder Brüche nicht in die Lösungsmenge aufnehmen. Wenn deine Grundmenge nur positive Zahlen zulässt, dann darfst du negative Zahlen auch nicht in die Lösungsmenge aufnehmen.

Mein Tipp: So doof es klingt, hier hilft nur eins: Schau dir die Grundmenge genau an und überlege, ob sie eventuell deine Lösungsmenge einschränkt.

 

Ungleichungen lösen: Zuletzt noch 3 Tipps

  1. Ungleichungen lösen funktioniert wie Gleichungen lösen! (Vorsicht Inversion!)
  1. Wenn du die Ungleichung gelöst hast, schreibe die Lösungsmenge hin! (Entscheide dich für eine Schreibweise und behalte sie bei!)
  1. Achte darauf, ob die Grundmenge deine Lösungsmenge einschränkt!

 

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