Additionssatz: 3 Tipps zur Anwendung des Additionssatzes

Additionssatz

Wie addieren sich die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen? Einfaches Addieren geht nur in den seltensten Fällen gut. In welchen Fällen man die Wahrscheinlichkeiten einfach addieren darf und wie du in allen anderen Fällen vorzugehen hast, lernst du hier, verständlich erklärt und mit ausreichenden anschaulichen Beispielen.

Der Additionssatz ist denkbar einfach. Nimm als Zufallsexperiment würfeln mit einem normalen Würfel.

Betrachte die beiden Ereignisse:

A={2;3;5}             Augenzahl ist eine Primzahl.

B={1;3;5}             Augenzahl ist ungerade.

Du siehst sofort, dass die Wahrscheinlichkeit für A und auch für B 50% ist.

Aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „A oder B“ (P(A u B))?

P(A)+P(B) =100% kannst du nicht einfach rechnen, das siehst du sofort. Denn dann würdest du ja die „3“ und die „5“ doppelt zählen. Das musst du natürlich verhindern. Darum ziehen wir die Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse die wir doppelt gezählt haben wieder ab.

Die doppelten Ergebnisse bilden gerade A n B. Du erkennst, dass der Additionssatz folgendermaßen lauten muss:

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

War doch nicht schwer oder?

 

 

Additionssatz: Was muss ich dafür können und wissen? 

Der Additionssatz lautet: Die Wahrscheinlichkeit P(A u B) ist P(A) + P(B) – P(A n B).

Damit du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A oder des Ereignis B richtig berechnen kannst, musst  du sicherstellen, dass du keine Ergebnisse doppelt zählst. Wenn du also einfach die Wahrscheinlichkeiten für A und  B addierst, musst du anschließend die Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse wieder abziehen, die sowohl in A als auch in B vorhanden sind.

Beispiel 1:

An einer Schule in Bayern haben von den Schülern 50% Französisch und 40% Latein als Fremdsprache gewählt. Wenn du jetzt glaubst 90% der Schüler haben Französisch oder Latein als Fremdsprache hast du dich irritieren lassen.

Denn es kann auch Schüler geben, die sowohl Französisch als auch Latein gewählt haben. Erst wenn wir wissen, dass 5% der Schüler Französisch und Latein gewählt haben können wir die Aufgabe mit den Additionssatz lösen.

Erst schreibst du dir die bekannten Wahrscheinlichkeiten raus:

P(A) = 50%                         A = Schüler hat Französisch belegt.

P(B) = 40%                         B = Schüler hat Latein belegt.

P(A n B) = 5%

Dann empfehle ich dir den Additionssatz einmal aufzuschreiben:

P(A u B)=P(A) + P(B) – P(A n B)

Und in diesen Additionssatz setzt du jetzt die gefundenen Wahrscheinlichkeiten ein:

P(A u B)=50% + 40% – 5% = 85%

Du erhältst als Ergebnis: „85% der Schüler Lernen also Französisch oder Latein.“

 

Beispiel 2:

Wie wahrscheinlich ist es, bei zweimal Würfeln mindestens einmal eine „6“ zu würfeln? Die Wahrscheinlichkeit eine „6“ zu Würfeln ist 1/6.

Viele Menschen glauben, dass die Wahrscheinlichkeit bei zweimal würfeln für mindestens eine „6“ dann 2/6 ist, bei drei Würfen 3/6, bei vier Würfen 4/6 und bei fünf Würfen 5/6.

Spätestens bei sechs Würfen sollte dir aber auffallen, dass die Wahrscheinlichkeit nicht 6/6 also 100% sein kann. Denn jeder von uns weiß, dass du Pech haben kannst und auch nach sechs Würfen keine „6“ gewürfelt hast. Und allerspätestens bei sieben Würfen wird es absurd, denn anders als im Volksmund oft behauptet, gibt es keine Wahrscheinlichkeiten über 100%.

Die Überlegung zeigt dir, du brauchst den Additionssatz:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit beim ersten oder zweiten Wurf eine „6“ zu würfeln.

Du schreibst dir die bekannten Wahrscheinlichkeiten heraus:

P(A)=1/6                             A = 1. Wurf 6

P(B)=1/6                             B = 2. Wurf 6

P(A n B)=1/36                    A n B = „Sechserpasch“

Danach schreibst du dir den Additionssatz auf:

P(A u B)=P(A) + P(B) – P(A n B)

Und in diesen Additionssatz setzt du jetzt die gefundenen Wahrscheinlichkeiten ein:

P(A u B)=1/6+1/6-1/36=6/36+6/36-1/36=11/36

Und erhältst als Ergebnis: „Die Wahrscheinlichkeit, bei zweimal Würfeln mindestens eine „6“ zu würfeln, ist also 11/36, was etwas weniger ist als 2/6.“

 

Additionssatz: Die häufigsten Schüler-Fehler auf einen Blick:

  • Viele Menschen vergessen P(A n B) abzuziehen. Das ist natürlich oft falsch. Nur wenn A und B sich gegenseitig ausschließen, A n B also leer ist, ist die Wahrscheinlichkeit P(A n B) = 0. „Null“ musst du natürlich nicht abziehen. Das würde ja nichts ändern. Das ist z.B bei Baumdiagrammen immer der Fall. Daher dürfen wir die einzelnen Zweige gemäß der 2. Pfadregel einfach zusammenzählen.
    Die 2. Pfadregel wird dir übrigens auf der Seite LEARNZEPT.de ausführlich erklärt.

Mein Tipp: Überlege dir zuerst, ob A und B gleichzeitig auftreten können, der Schnitt also nicht Leer ist. Ist dies der Fall, musst du P(A n B) noch abziehen.

  • Gerade bei kleinen Wahrscheinlichkeiten ist P(A n B) oft verschwindend gering und unsere Intuition lässt sich dann leicht in die Irre leiten, da das richtige Ergebnis nur wenig vom falschen Ergebnis abweicht.

 

Additionssatz: Drei Tipps zusammengefasst

  1. P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)
  2. Mann kann den Additionssatz natürlich auch umstellen: P(A n B)=P(A) + P(B) – P(A u B)
  3. Wenn P(A n B)=0 kannst du den Additionssatz anpassen und einfacher rechnen.
    Es gilt P(A u B)=P(A) + P(B)

 

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