Laplace Experimente: Mit 3 Tipps einfach erklärt

Laplace Experiment



Würfel können manipuliert, Karten gezinkt, Glücksräder manipuliert sein. Auf der Erde sind übrigens auch nicht 50% der Menschen Frauen. Du siehst die Wirklichkeit ist eigentlich immer ungenau. Um exakt rechnen zu können, brauchen wir aber genaue Zufallsexperimente.

 

Darum definiert sich der Mathematiker den (nicht existierenden) genauen Würfel und nennt ihn Laplace Würfel. Bei diesen Würfel sind alle Wahrscheinlichkeiten gleich groß. Eine „6“ ist genauso wahrscheinlich wie eine „1“. Zufallsexperimente mit Laplace Würfeln nennen wir Laplace Experimente.

Genauso gibt es Laplace Kartenspiele und Laplace Glücksräder.

Allgemein nennen wir Zufallsexperimente, deren Ergebnisse alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, Laplace Experimente.

Bei vielen Experimenten in der Wirklichkeit sind die Ergebnisse näherungsweise gleich wahrscheinlich. Hier können wir ohne großen Fehler annehmen, dass es sich um Laplace Experimente handelt. Beispiele gibt es mehrere:

  • Würfeln
  • Werfen einer Münze
  • Ziehen einer Karte
  • Drehen eines Glücksrads mit gleich großen Sektoren
  • Wahl einer Tür oder ähnliches (bei einer Gameshow)

 Laplace Experimente: Was hilft es mir zu wissen, dass ein Zufallsexperiment ein Laplace Experiment ist?

Handelt es sich bei deinem Experiment um ein Laplace Experiment, kannst du sehr einfach rechnen. Du kennst die Formel:

P = „Anzahl der günstigen Ergebnisse“ : „Anzahl der möglichen Ergebnisse“

Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit P, mit einem Würfel eine gerade Zahl zu werfen:

„Anzahl der günstigen Ergebnisse“ : „Anzahl der möglichen Ergebnisse“

  • „Günstigen Ergebnisse“ sind all die Ergebnisse die ich haben möchte, hier also {2, 4, 6}.
  • „Mögliche Ergebnisse“ sind alle Ergebnisse die du mit einem Würfel werfen kannst {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist dann 3, denn die Menge {2, 4, 6} hat drei Elemente. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist dann 6, denn die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} hat sechs Elemente.

Daraus folgt: 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%

Aber Vorsicht: Nur weil du zum Beispiel mit Laplace-Würfeln würfelst, muss es sich nicht um Laplace Experimente handeln. Wenn du zum Beispiel mit zwei Würfeln würfelst, dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 größer als die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.

 

Laplace Experimente: Welche Fehler werden oft gemacht und wie verhinderst du sie?

Wir nehmen an, ein Experiment ist ein Laplace Experiment. Alle möglichen Ergebnisse sind also gleich wahrscheinlich. Oft ist das aber entgegen der Intuition nicht der Fall. Nimm zum Beispiel das zweimalige Werfen einer Münze. Die Ergebnismenge Omega ist dann {KK, KZ, ZK, ZZ}. Diese Möglichkeiten sind alle gleich wahrscheinlich. Wenn dir jetzt aber die Reihenfolge egal ist, kannst du Kopf-Zahl und Zahl-Kopf zusammenfassen. Die Ergebnismenge Omega ist dann {(KK), (KZ), (ZZ)}. KZ ist hier natürlich doppelt so wahrscheinlich. Schließlich besteht es ja eigentlich aus zwei Ereignissen.

Beim zweimaligen Werfen einer Münze ist das noch schnell erkennbar. Aber es gibt viele andere Beispiele, bei denen es nicht so offensichtlich ist.

Schau dir im Gegenzug ein Zufallsexperiment mit Namen „Familie mit zwei Kindern“ an. Hier gibt es Familien mit zwei Jungen, mit zwei Mädchen und Familien mit einem Jungen und einem Mädchen. Du erkennst jetzt vielleicht die Ähnlichkeit mit dem zweimaligen Werfen einer Münze. Ob das erste Kind ein Junge oder ein Mädchen ist, ist fifty-fifty. Man kann auch sagen, Gott hat eine Münze geworfen. Und beim zweiten Kind gilt dasselbe. Jetzt ist dir klar, dass die Wahrscheinlichkeit für Junge-Mädchen doppelt so groß ist. Denn der Junge kann der Jüngere oder der Ältere der beiden sein.

Nur weil es zwei Ergebnisse gibt, müssen diese nicht automatisch gleich wahrscheinlich sein.

Mein Tipp: Überlege dir genau, ob alle Ergebnisse wirklich gleich wahrscheinlich sind. In Zweifel zeichne dir ein ausführliches Baumdiagramm. Um dich umfassend über das Zeichnen und das Rechnen mit Baumdiagrammen zu informieren, gehe einfach auf die Seite LEARNZEPT.de

 

Laplace Experimente: Drei Tipps zusammengefasst

  1. Laplace Experimente sind die Zufallsexperimente, mit denen es sich besonders einfach rechnen lässt. Denn alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.
  2. In der Wirklichkeit gibt es keine Laplace Experimente. Meistens werden diese aber näherungsweise als Laplace Experimente angenommen.
  3. Typische Beispiele für Laplace Experimente (zumindest näherungsweise):
    1. Würfeln,
    2. Werfen einer Münze
    3. Ziehen aus einer Urne, in der alle Kugeln gleich oft vorkommen
    4. Eine Karte aus einem Kartenspiel ziehen
    5. Eine Person Wählen

 

 

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