3. Binomische Formel: 5 Tipps zum Klammern auflösen

3. Binomische Formel

Die 3. Binomische Formel ist ein Teil des weitgefächerten Stoffgebiets der Termumformung. Die 3. Binomische Formel hilft dir dabei, um eine spezielle Art von Klammern aufzulösen und dadurch Gleichungen richtig lösen zu können. Positiv für Schüler ist, dass die 3. Binomische Formel immer gleich funktioniert.

So funktioniert die 3. Binomische Formel:

 a^{2}- b^{2}=(a+b)\cdot(a-b)

In den beiden Klammern steht einmal ein „Plus“ und einmal ein „Minus“. Man kann sich die 3. Binomische Formel deshalb auch als „Plus-Minus-Formel“ merken.

Viel mehr kann man einleitend zur 3. Binomischen Formel gar nicht sagen. Sieh dir zunächst das Erklärvideo an. Im Anschluss zeige ich dir noch einige spezielle Fehlerquellen. Diese unterlaufen Schülern meiner Unterrichtserfahrung nach immer wieder, aber wenn man sie bereits im Vorhinein kennt, kann man sie dann auch leicht vermeiden.

 

3. Binomische Formel: Erklärvideo

In diesem Video wird dir erklärt, wie du die 3. Binomische Formel anwenden musst.

 

 

3. Binomische Formel: Welches Grundwissen brauche ich zur richtigen Anwendung?

Viele Schüler haben Probleme damit, mit Termen zu rechnen, in denen Klammern vorkommen. Ausführliche Informationen zu den Klammerregeln kannst du dir auf LEARNZEPT.de ansehen.

Besonders treten Schwierigkeiten da auf, wo Vorzeichen zu beachten sind. Die dritte Binomische Formel ist in diesem Zusammenhang jedoch eigentlich unkompliziert, da sie immer nach dem gleichen Muster funktioniert. Schreiben wir uns noch einmal die dritte Binomische Formel auf:

 a^{2}- b^{2}=(a+b)\cdot(a-b)

Wie wir sehen können, kann man die 3. Binomische Formel in zwei Rechenrichtungen anwenden. Nämlich einmal von der Differenz zum Produkt, wie eben gerade, genauso kann man die 3. Binomische Formel aber auch andersherum (vom Produkt zur Differenz) anwenden:

(a+b)\cdot(a-b)= a^{2}- b^{2}

Rechnen wir für beide Fälle jeweils ein Beispiel:

1. Fall: Von der Differenz zum Produkt:

x^{2}- 25 = (x+5)\cdot(x-5)

2. Fall: Vom Produkt zur Differenz:

(x+5)\cdot(x-5)=x^{2}- 25

Du kannst erkennen, dass die dritte Binomische Formel wirklich nicht besonders schwer ist. Wichtig ist nur, dass du das Schema der Vorzeichen erkennst:

Im Ausdruck ohne Klammern muss ein „Minuszeichen“ (x2 – 25) stehen!

in dem Ausdruck mit Klammern muss in einem Klammernterm ein „Minuszeichen“ und im anderen ein „Pluszeichen“ (x + 5) • (x – 5) stehen.

Du kannst daran erkennen, dass die 3. Binomische Formel einfach anzuwenden ist, wenn du das Schema erkennst.

Neben der 3. Binomischen Formel gibt es noch die 1. und 2. Binomische Formel. Erklärungen dazu bietet dir die Seite LEARNZEPT.de.

Damit kommen wir nun zu einigen Fehlerquellen, über die Schüler in Klassenarbeiten und Schulaufgaben häufig stolpern.

 

3. Binomische Formel: Stolperfallen bei der 3. Binomischen Formel:

1. Entscheidend dafür, ob du die 3. Binomische Formel anwenden kannst, ist, dass im Ausgangsterm die richtigen Vorzeichen vorkommen. Oft passen Schüler nicht ordentlich genug auf die Vorzeichen auf. Folgende zwei Terme können, wie oben bereits erwähnt beispielhaft gegeben sein:

  1. x2 – 25: Das Vorzeichen muss in diesem Fall ein Minus sein. Steht zwischen dem  x2 und der Zahl 25 ein Pluszeichen (x2 + 25), dann ist der Term kein „Fall“ für die 3. Binomische Formel!
  2. (x + 5) • (x – 5): In beiden Klammern müssen verschiedene Vorzeichen stehen. Wenn in beiden Klammern das gleiche Vorzeichen steht (zweimal „Plus“ oder zweimal „Minus“), dann ist der Term ebenfalls kein „Fall“ für die 3. Binomische Formel.

Mein Tipp: Es bleibt dir nichts anderes übrig, als genau auf die Vorzeichen zu achten!

Übungen und Erklärungen zu den Vorzeichen beim Berechnen von Termen findest du auf der Seite LEARNZEPT.de.

2. Ein zweiter Fehler passiert logischerweise immer dann, wenn Schüler die 3. Binomische Formel nicht erkennen, wenn sie vor ihrer Nase liegt. Sehen wir uns ein Beispiel dazu an, dann weißt du besser, was ich meine.

Gegeben ist der Term 9x2 – 4. Dieser  Term ist natürlich die 3. Binomische Formel: 9x2 – 4 = (3x + 2) • (3x – 2)

Viele Schüler jedoch formen den Term falscherweise so um, dass sie einfach aus beiden Bestandteilen des Terms die Wurzel ziehen und damit zum falschen Ergebnis kommen, nämlich: (3x – 2)2

Dieses Ergebnis ist natürlich falsch.   

Mein Tipp: Schreibe dir, bevor du eine Aufgabe rechnest, die 3. Binomische Formel einmal auf dein Blatt und ziehe nicht einfach die Wurzel in einem Term, bevor du genau hingesehen hast, ob du die 3. Binomische Formel anwenden musst!

3. Ein dritter, großer Fehler passiert gerne, wenn die 3. Binomische Formel in der folgenden Form in der Aufgabenstellung gegeben ist:

4x^{2} - 6,25

x^{2} - 1

Schüler haben oftmals die Schwierigkeit, die Quadratzahlen zu erkennen, die aus einem Term eine 3. Binomische Formel machen. In unseren Beispielen meine ich die Werte „6,25“ und „1“. Beide Zahlen sind Quadratzahlen. Die Wurzel aus „6,25“ ist „2,5“ und die Wurzel aus „1“ ist eben wieder „1“. Damit ist für beide Terme die 3. Binomische Formel anwendbar:

4x^{2} - 6,25 \quad = \quad (2x-2,5) \quad \cdot \quad (2x+2,5)

x^{2} - 1 \quad = \quad (x-1) \quad \cdot \quad (x+1)

Mein Tipp: Prüfe in deiner Aufgabe alle Werte nach, ob man von ihnen die Wurzel ziehen kann und danach, ob du deshalb die 3. Binomische Formel anwenden darfst. Achte vor allem auf die gefährliche Zahl „1“!

Ausführliche Erklärungen zu Quadratzahlen und Wurzeln findest du auf LEARNZEPT.de.

 

3. Binomische Formel: 5 abschließende Anwendungstipps:

1. Sieh dir einen Term ganz genau an, bevor du loslegst, ob du Besonderheiten findest, die für die 3. Binomische Formel interessant sind. Ich habe dir die beiden Seiten der 3. Binomischen Formel hier noch einmal in der allgemeinen Form mit „a“ und „b“ aufgeschrieben:

a^{2} - b^{2} \quad = \quad (a+b) \quad \cdot \quad (a-b)

 

2. Achte bitte besonders auf die Vorzeichen. Sie müssen die gleiche Struktur haben, wie in der allgemeinen Formel oben!

3. Schau in deinem Term genau nach, ob du Quadratzahlen findest, die nicht auf den ersten Blick, zum Beispiel durch ein „hoch 2“ erkennbar sind. Besonders gefährlich ist hier die Zahl „1“.

4. Wende die 3. Binomische Formel sorgfältig an und ziehe nicht einfach nur die Wurzel aus den beiden Quadratzahlen und mache eine Klammer darum. Genauer habe ich dich darauf in Fehler Nummer 2 bereits hingewiesen.

5. Überprüfe in einem letzten Schritt bitte noch einmal genau, ob dein Ergebnis auch noch der Struktur der 3. Binomischen Formel entspricht, besonders, ob alle Vorzeichen passen!

 

3. Binomische Formel: Hier bekommst du Hilfestellung:

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