Exponentialfunktion ableiten: 3 Tipps zur Ableitung

Dass sich beim Ableiten der natürlichen Exponentialfunktion an der Funktion nichts ändert, sie also ihre eigene Ableitung ist, ist vielen bekannt. Dies und wie du vorgehen musst, wenn es etwas komplizierter wird, wie du zum Beispiel bei Exponentialfunktionen die Kettenregel anwenden musst, lernst du hier. Du wirst sehen, dass die Kettenregel bei Exponentialfunktionen immer relativ einfach ist. Außerdem werde ich dich auf einige Fehlerquellen hinweisen, die immer wieder in Schulaufgaben vorkommen und ebenfalls, wie du diese vermeiden kannst.

Die Exponentialfunktion ableiten ist denkbar einfach. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst. Hört sich einfach an und ist auch einfach.

f(x)=e^x             f'(x)=e^x

Komplizierter wird es erst, wenn der Exponent (das x) nicht mehr nur ein x ist sondern z.B.: 2x+4 oder ähnliches ist, also z.B.: f(x)=e^2x+4. Dann hast du eine verkettete Funktion und du kannst das Ganze mit der Kettenregel ableiten.

Die Kettenregel ist für die Exponentialfunktion aber sehr einfach. Du schreibst einfach die Funktion nochmal hin und multipliziert sie mit der Ableitung des Exponenten.

Für unser Beispiel also:
f'(x)=e^2x+4 • 2, denn 2 ist die Ableitung von 2x+4

 

Exponentialfunktion ableiten: Was muss ich zum Exponentialfunktion ableiten können und wissen?

Die natürliche Exponentialfunktion:

Über die besonders einfache Eigenschaft, dass die Ableitung der Funktion gerade die Funktion selber ist, kann man übrigens die Exponentialfunktion auch definieren. Wir merken uns:

f(x)=e^x                          f'(x)=e^x

Exponentialfunktion ableiten mit komplizierteren Exponenten:

Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich leicht zeigen, dass sich alle anderen Funktionen ableiten lassen, indem ich die Funktion noch mit der Ableitung ihres Exponenten multipliziere.

f(x)=e^u(x)                      f'(x)=u'(x) • e^u(x)

Was hier ein bisschen kompliziert aussieht, ist im Grunde sehr einfach. Das siehst du am besten anhand von ein paar Beispielen:

f(x)=e^2x+3                    2x+3 abgeleitet ist 2, darum ist                                f'(x)=2 • e^2x+3

f(x)=e^4x²-5x+1              4x²-5x+1 abgeleitet ist 8x-5, darum ist                     f'(x)=(8x-5) • e^4x²-5x+1

f(x)=e^sin(x)                   sin(x) abgeleitet ist cos(x), darum ist                        f'(x)=cos(x) • e^sin(x)

f(x)=3e^5x³-2x+5            5x³-2x+5 abgeleitet ist 15x²-2 darum ist,                  f'(x)=(15x²-2) • 3e^5x³-2x+5

 

Exponentialfunktion ableiten mit anderer Basis

Natürlich kann ich auch eine andere Basis als e haben, z.B a. Dann kann man die Funktion mit Hilfe der Potenzregeln umformen und e^ln(a) für a schreiben. Das führt zur folgenden Regel.

f(x)=a^x                                      f'(x)=ln(a) • a^x

Wir bekommen also im Vergleich zu den Exponentialfunktionen mit Basis e noch einen Vorfaktor ln(a).

Beispiele:

f(x)=2^x                                       f'(x)=ln(2) • 2^x

f(x)=3,4^x                                    f'(x)=ln(3,4) • 3,4^x

Exponentialfunktion ableiten mit anderer Basis und komplizierteren Exponenten

Kombinieren wir die beiden Regeln erhalten wir

f(x)=a^u(x)                                   f'(x)=ln(a) • u'(x) • a^u(x)

Konkret mit Zahlen sieht auch das wieder einfacher aus:

f(x)=3^5x+4                        5x+4 abgeleitet ist 5, darum ist                            f'(x)=ln(3) • 5 • 3^5x+4

f(x)=3,1^-2x³+4x²           2x³+4x² abgeleitet ist 6x²+8x, darum ist           f'(x)=ln(3,1) • (6x²+8x) • 3,1^-2x³+4x²

 

Exponentialfunktion ableiten: Was du falsch machen kannst und wie du dies verhinderst:

• Bei einer Exponentialfunktion steht das x im Exponenten. Hier gilt nicht die Potenzregel fürs Ableiten, nämlich dass man das x um eins erniedrigen muss und das Ganze dann mit dem Exponenten malnimmt. Das ist falsch.
  Erklärvideos zu der Potenzregel fürs Ableiten und Übungsaufgaben, bei denen diese Regel Anwendung findest, gibt’s auf LEARNZEPT.de.

Mein Tipp: Du musst einfach nur deine Funktion abschreiben und mit der Ableitung des Exponenten multiplizieren.

• Nur für die natürliche Exponentialfunktion und ihrer vielfachen gilt f(x) = f'(x). Bei allen anderen, verketteten Funktionen bekommst du durch das Ableiten des Exponenten noch einen Vorfaktor.
  Was genau eine verkettete Funktion ist und wie man sie unkompliziert ableitet, findest du auf der Seite LEARNZEPT.de.

Mein Tipp: Wenn die Funktion nicht gerade exakt e^x  ist, leite den Exponenten ab und schreib ihn vor die Funktion. Dann bist du auf der sicheren Seite. Sollte die Ableitung tatsächlich mal „1“ sein, kannst du die „1“ als Vorfaktor natürlich weglassen.

 

Exponentialfunktion ableiten: Drei Tipps zusammengefasst

1. Die Natürliche Exponentialfunktion ableiten ist leicht, es gilt  f'(x)=e^x.
2. Alle anderen Exponentialfunktionen lassen sich ableiten, indem sie noch mit der Ableitung ihres Exponenten multipliziert werden.
3. Ist die Basis nicht e sondern eine beliebige andere Zahl a, dann bekommt deine Ableitung noch einen weiteren Vorfaktor, nämlich ln(a).
   Wenn du mehr über den natürlichen Logarithmus wissen willst, speziell wie man ihn ableitet, dann informiere dich darüber einfach auf der Seite LEARNZEPT.de.

 

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