Kongruente Dreiecke: 4 Tipps zur Berechnung

Wann sind zwei Dreiecke kongruent und welche Kongruenzsätze gibt es? Hier lernst du, was es bedeutet, wenn zwei Dreiecke kongruent sind. Und du lernst ein paar Regeln, die festlegen, was du über zwei Dreiecke wissen musst, um dir sicher zu sein, dass sie kongruent sind.

Was bedeutet kongruente Dreiecke?

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Das heißt du kannst sie auf ein Blatt Papier zeichnen, ausschneiden, drehen und wenden, wie du willst und dann übereinander legen, so dass beide Dreiecke gleich sind. Alle entsprechenden Seiten und Winkel müssen also gleich sein. Sie können aber anders heißen und angeordnet sein. Da die Winkelsumme in Dreieck immer 180° ist, brauche ich nur zwei der Winkel vergleichen. Sind sie gleich, muss auch der dritte Winkel gleich sein.

Es gibt weitere ähnliche Argumente. Am Ende brauchst du immer drei Größen, zum Beispiel die drei Seiten des Dreieck angegeben. Wenn du aber drei Winkel gegeben hast, dann reicht dies nicht, um auszusagen, dass zwei Dreiecke kongruent sind. Was ausreicht, ist in den Kongruenzsätzen zusammengefasst.

Ich werde dir ausführlich erklären, welche Kongruenzsätze es gibt und wie du sie unkompliziert und sicher anwenden kannst. Außerdem werde ich dir typische Fehlerquellen zeigen, die Lehrer in Klassenarbeiten gerne einbauen, so dass du nicht mehr hineintappst.

Kongruente Dreiecke: Welches Grundwissen musst du dir aneignen?

Die vier Kongruenzsätze:

Erster Kongruenzsatz (SSS)

Der einfachste Kongruenzsatz ist SSS. Die drei Seiten im Dreieck reichen immer aus, um ein Dreieck eindeutig festzulegen. Stimmen zwei Dreiecke also in allen Seiten überein, so sind sie kongruent. Aber Vorsicht: Die Seiten können anders benannt sein. Du musst für jede Seite nur eine entsprechend gleich lange Seite finden.

Zweiter Kongruenzsatz (SWS)

Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel reichen auch immer aus, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. Aber Achtung: Der Winkel muss eingeschlossen sein. Sonst sind die Dreiecke meistens mehrdeutig. Es kann durchaus zwei nicht kongruente Dreiecke geben, die in einem Winkel und zwei Seiten übereinstimmen.

Dritter Kongruenzsatz (WSW bzw. SWW)

Stimmen zwei Dreiecke in zwei gleich liegenden Winkeln und einer Seite überein, dann sind sie auch sicher kongruent. Die Winkel müssen gleich liegen, sonst kann es passieren, dass du zwei nicht zusammen gehörende Seiten miteinander vergleichst.

Vierter Kongruenzsatz (SsW)

Hier muss der Winkel der längeren Seite den beiden gegebenen Seiten gegenüberliegen. Dies wird durch das Große S verdeutlicht. Ist dies der Fall, dann sind die beiden Dreiecke kongruent.

Wenn du wissen willst, wie du mithilfe der Kongruenzsätze Dreiecke konstruieren kannst, dann findest du auf der Seite LEARNZEPT.de ausführliche Erklärvideos und echte Klassenarbeiten und Schulaufgaben interaktiv aufbereitet zum Üben.

Wie kann ich feststellen ob zwei Dreiecke kongruent sind?

Schön und gut. Jetzt habe ich dich mit vier Regeln zur Kongruenz von Dreiecken bombardiert. Aber wie findest du jetzt in der Praxis heraus, ob zwei Dreiecke kongruent sind.

Das hängt davon ab, welche Größen du in der Angabe der Klassenarbeit angegeben hast.

Beispiel 1: Drei Seiten sind gegeben!

Dreieck ABC mit a = 5; b = 7; c = 4 und

Dreieck DEF mit d = 7; e = 4; f = 5

Sind drei Seiten gegeben, dann ist die Sache einfach. Jede Seite braucht ein entsprechend gleich langes Gegenstück. Da in unserem Beispiel a = f, b = d, c = e, gibt es je eine gleich lange Seite und die Dreiecke sind damit kongruent.

Beispiel 2: Drei Winkel sind gegeben!

Dreieck ABC mit α = 55°; β = 34°; γ = 91° und

Dreieck DEF mit δ = 55°; ε = 34°; σ = 91°

Da ist auch einfach. Es gibt keinen Kongruenzsatz WWW. Es ist daher nicht klar, ob die Dreiecke kongruent sind.

Beispiel 3: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben!

Dreieck ABC mit a = 13cm; β = 44°; γ = 71° und

Dreieck DEF mit δ = 44°; ε = 71°; f = 13cm

Das könnte zum dritten Kongruenzsatz passen. Dazu muss die Seite jedoch gleich zu den Winkeln liegen. Hier hilft eine Skizze. Der an die Seite angrenzende und der gegenüberliegende Winkel sind jeweils gegeben. Der SWW Satz lässt sich also anwenden.

Beispiel 4: Zwei Seiten und ein Winkel sind gegeben!

Dreieck ABC mit a = 5cm; β = 70°; c = 4cm und

Dreieck DEF mit d = 5cm; e = 4cm; δ = 70°

Zwei Seiten und ein Winkel, das riecht nach SWS oder SsW. Aber beim Dreieck ABC ist der eingeschlossene Winkel gegeben, beim Dreieck DEF nicht. Es wäre also großer Zufall, wenn die beiden Dreiecke kongruent wären.

Kongruente Dreiecke: Die häufigsten Fehlerquellen in Klassenarbeiten

Viele Schüler verwechseln „deckungsgleich“ mit „flächengleich“. „Flächengleich“ heißt aber nur, dass die Fläche der beiden Dreiecke gleich groß ist. Die Form kann sich aber unterscheiden, so dass zwei „flächengleiche“ Dreiecke nicht zwingend kongruent sein müssen. Allerdings sind alle kongruenten Dreiecke „flächengleich“. Sind zwei Dreiecke also nicht „flächengleich“, so können die Dreiecke auch nicht kongruent sein.
Bei manchen Kongruenzsätzen ist die Reihenfolge wichtig. Achte darauf, dass deine Seiten und Winkel auch in der Reihenfolge dem Kongruenzsatz entsprechen.

Kongruente Dreiecke: 4 zusammenfassende Tipps

Mach dir immer eine Skizze!
Kongruent kannst du mit Deckungsgleich übersetzen. Kongruent heißt „deckungsgleich“. „Flächengleich“ heißt jedoch nicht „deckungsgleich“!
Die vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW musst du morgens um drei zwei Minuten nach dem Aufwachen herunterbeten können!
Es gibt viele Konstellationen, bei denen die gegebenen Informationen nicht ausreichen um zu entschieden.

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